Задачі

Задача.

Площа поверхні ікосаедра 180 см2 . Знайдіть площу поверхні куба, в який вписано цей ікосаедр.

Розв'язання.

За вл-ми куба – ікосаедр є вписаним в куб, причому так, що його паралельні ребра лежать в паралельних гранях куба. Тому довжина ребра куба дорівнює відстані між двома паралельними ребрами ікосаедра: наприклад ММ1. З іншого боку ММ1=d діагоналі прав. 5-кутника із стороною такою ж як в ікосаедра. Відомо, що відношення сторони 5-кутника до діагоналі a/d=(√5-1)/2≈3/5. Легко обчислити сторону ікосаедра , вона ж буде і стороною 5-кутника. 180:20=9 (площа одного тр-ка). Звідси а2=36/√3. Враховуючи, що a2/d2=9/25 маємо d2=25a2/9=100/√3. Площа поверхні куба S=6d2=6*100/√3=200√3.

(Середній  та достатній рівень)

Задача 1. Площа поверхні правильного ікосаедра дорівнює 360 см². Знайдіть площу однієї грані та ребро ікосаедра.

Задача 2. Скільки ребер може виходити з вершини правильного многогранника? (Розгляньте на прикладах).

Задача 3. Знайдіть об’єм правильного тетраедра, площа поверхні якого дорівнює  12 дм².

(Високий рівень)

Задача 1. Основою піраміди є грань куба, а вершиною – його центр. Знайдіть об’єм піраміди, якщо ребро куба дорівнює 3 см.

Задача 2. Під яким кутом з центра куба видно його ребро?